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方差公式

核心导读:  一.方差的概念与计算公式   例1 两人的5次测验成绩如下:   X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;   Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。   平均成绩相同,但X 不稳定,对平均值的偏离大。   方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。   单个偏离是   消除符号影响   方差即偏离平方的均值,记为D(X ):   直接计算公式分离散型和连续型,具体为:   这里 是一个数。推导另一种计算公式   得到:
  一.方差的概念与计算公式
  例1 两人的5次测验成绩如下:
  X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;
  Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。
  平均成绩相同,但X 不稳定,对平均值的偏离大。
  方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
  单个偏离是
  消除符号影响
  方差即偏离平方的均值,记为D(X ):
  直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
  这里 是一个数。推导另一种计算公式
  得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
  其中,分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差,方差描述波动
  二.方差的性质
  1.设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动);
  2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);
  证:
  特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)
  3.若X 、Y 相互独立,则
  证:记
  则
  前面两项恰为 D(X )和D(Y ),第三项展开后为
  当X、Y 相互独立时,
  ,
  故第三项为零。
  特别地
  独立前提的逐项求和,可推广到有限项。
  方差公式:
  平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
  方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉╱n
  三.常用分布的方差
  1.两点分布
  2.二项分布
  X ~ B ( n, p )
  引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数,服从两点分布)
  ,
  3.泊松分布(推导略)
  4.均匀分布
  另一计算过程为
  5.指数分布(推导略)
  6.正态分布(推导略)
  7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
  8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
  ~
  正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。
  例2 求上节例2的方差。
  解 根据上节例2给出的分布律,计算得到
  工人乙废品数少,波动也小,稳定性好。
  方差的定义:
  设一组数据x1,x2,x3······xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。
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