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学习数列通项公式应注意的几个问题

核心导读:学习数列通项公式应注意的几个问题          

对数列的通项公式,教材上的定义是“如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式”. 但同学们在具体学习中还要注意几个问题.

1. 含省略号的an表达式是不是通项公式?

含省略号的an表达式不是通项公式,因为由通项公式的定义知,an应该是关于n的函数关系式.

求数列,的通项公式.

解: 这个数列的通项公式不能写成an=,而应计算,故数列的通项公式为an.

求数列2,22,222,2222,…的通项公式.

解:此题的通项公式不能写成. 而应计算为关于n的代数式,

.

故数列的通项公式为.

2. 列举项中的含n的一般式是不是通项公式?

数列列举项中的含n的一般式不一定是通项公式.

已知数列试求第20项和第40项.

解析 这个数列的项是依次用列举法表示的,其中的一般式n(n+1)是第n项,故通项公式为an =n(n+1)..

等差数列1,3,5,…,2n-3,…中,2n-3是第几项?

解: 很多同学会不假思索地回答为第n项. 事实上,2n-3不是这个数列的通项公式. 由于这个数列是等差数列,首项a1=1,公差d=2,故通项公式ak=1+(k-1)2=2k-1.

令2k-1=2n-3,求得k=n-1. 故2n-3是第n-1项.

3.通项公式能不能用分段函数形式表示?

通项公式可以用分段函数形式表示,如果能统一为一个,最好统一.

求数列0,2,0,2,0,2,…,的通项公式.

解: 这个数列所有奇数项为0,所有偶数项为2,故它的通项公式可以写成. 这是用分段函数形式来表示的,当然也可合二为一,写成an=1+(-1)n.

已知数列{an}中,前n项的和Sn=3n-2, 求其通项公式an.

解析 许多同学这样做:由an=Sn-Sn-1=3n-2-3n-1+2=2·3n-1.

故其通项公式为an=2·3n-1.

这种解法是不完全的,利用an=Sn-Sn-1求通项公式,一定要注意条件是n≥2. 故还要验证a1满不满足,若满足就共一个通项公式,若不满足,就将通项公式写成分段函数形式. 此题中a1=S1=1不满足an=2·3n-1. 从而这个数列的通项公式只能写成分段函数的形式:

4. 数列的通项公式是不是唯一的?

数列的通项公式一般不唯一,可以有不同的形式. 如例5. 所以一般求数列的通项公式时,只要求写出其中一个通项公式.

5.由数列的递推公式能不能写出数列中的任何一项?

这是教材中复习参考题三的一个判断题,许多同学认为不能. 原因是认为数列的递推公式就是形如f(an,an-1)=0或f(an-1,an,an+1)=0的形式.

对数列的递推公式,教材上的定义是“如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式”.从中可知数列的递推公式包括两部分,一是第1 项或前几项,二是任意相邻两项an和an-1或任意相邻三项an-1、an、an+1之间的关系式,如

和都是递推公式.

故由数列的递推公式可以写出这个数列中的任何一项.

由数列的递推公式求其通项,有很多方法,同学们可以自己去总结一下,但有一点必须清楚,不是所有的数列递推公式都可以求出其通项的.

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