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2017高三数学理科一轮复习数列专题突破训练

核心导读:北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、(2016年北京高考)已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______..2、(2015年北京高考)设是等差数列.下列结论中正确的是A.若,则  B.若,则C.若,则  D

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
数 列

一、选择、填空题
1、(2016年北京高考)已知 为等差数列, 为其前 项和,若 , ,则 _______..
2、(2015年北京高考)设 是等差数列. 下列结论中正确的是
A.若 ,则   B.若 ,则
C.若 ,则   D.若 ,则
3、(2014年北京高考)若等差数列 满足 , ,则当 ______时, 的前 项和最大.
4、(朝阳区2016届高三二模)为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设 表示前 年的纯利润( =前 年的总收入-前 年的总费用支出-投资额),则      (用 表示);从第    年开始盈利.
5、(东城区2016届高三二模)成等差数列的三个正数的和等于 ,并且这三个数分别加上 、 、 后成为等比数列 中的 、 、 ,则数列 的通项公式为
A.           B.        C.       D. 
6、(丰台区2016届高三一模)若数列 满足 ,且 与 的等差中项是5,则  等于
(A)         (B)       (C)        (D)
7、(海淀区2016届高三二模)在数列 中, ,且 ,则 的值为
A.               B.               C.               D.
8、(昌平区2016届高三上学期期末)已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列 满足 且对任意 ,点 都在函数 的图象上,则 的值为
 
1 2 3 4
 
3 1 2 4
A . 1                B.2                C. 3                D. 4
9、(朝阳区2016届高三上学期期中) 已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列,那么 等于(   )
A.              B.                  C.              D. 
10、(海淀区2016届高三上学期期中)数列 的前n项和为 ,则 的值为
A.1   B.3   C.5   D.6
11、(石景山区2016届高三上学期期末)已知数列 是等差数列, ,
则前 项和 中最大的是(    )
A.         B. 或        
C. 或        D.
12、(东城区2016届高三上学期期中)
在数列 中,
13、(丰台区2016届高三上学期期末)设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 =       .

二、解答题
1、(2016年北京高考)设数列A:  ,  ,…  ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有  <  ,则称 是数列A的一个“G时刻”.记“ 是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出 的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在 使得 > ,则  ;
(3)证明:若数列A满足 -  ≤1(n=2,3, …,N),则 的元素个数不小于  - .


2、(2015年北京高考)
已知数列 满足: ,  ,且  .
记集合 .
(Ⅰ)若 ,写出集合 的所有元素;
(Ⅱ)若集合 存在一个元素是3的倍数,证明: 的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合 的元素个数的最大值.

3、(2014年北京高考)对于数对序列 ,记 ,
 ,其中
 表示 和 两个数中最大的数,
(1)对于数对序列 ,求 的值.
(2)记 为 四个数中最小值,对于由两个数对 组成的数对序列 和 ,试分别对 和 的两种情况比较 和 的大小.
(3)在由5个数对 组成的所有数对序列中,写出一个数对序列 使 最小,并写出 的值.(只需写出结论).

4、(朝阳区2016届高三二模)已知集合 ,且 .若存在非空集合 ,使得 ,且 ,并 ,都有 ,则称集合 具有性质 , ( )称为集合 的 子集.
(Ⅰ)当 时,试说明集合 具有性质 ,并写出相应的 子集 ;
(Ⅱ)若集合 具有性质 ,集合 是集合 的一个 子集,设 ,
求证: , ,都有 ;
(Ⅲ)求证:对任意正整数 ,集合 具有性质 .

5、(东城区2016届高三二模)数列 中,定义: , .
(Ⅰ)若 , ,求 ;
 (Ⅱ) 若 , ,求证此数列满足 ;
(Ⅲ)若 , 且数列 的周期为4,即 ,写出所有符合条件的 .

6、(丰台区2016届高三一模)已知数列 是无穷数列, ( 是正整数), .
(Ⅰ)若 ,写出 的值;
(Ⅱ)已知数列 中 ,求证:数列 中有无穷项为1;
(Ⅲ)已知数列 中任何一项都不等于1,记  为 较大者).求证:数列 是单调递减数列.

7、(海淀区2016届高三二模)已知集合  ,其中 .
 , 称 为 的第 个坐标分量. 若 ,且满足如下两条性质:
①  中元素个数不少于4个;
②  ,存在 ,使得 的第 个坐标分量都是1;
则称 为 的一个好子集.
(Ⅰ)若 为 的一个好子集,且 ,写出 ;
(Ⅱ)若 为 的一个好子集,求证: 中元素个数不超过 ;
(Ⅲ)若 为 的一个好子集且 中恰好有 个元素时,求证:一定存在唯一一个
 ,使得 中所有元素的第 个坐标分量都是1.

 

8、(石景山区2016届高三一模)若对任意的正整数 ,总存在正整数 ,使得数列 的前 项和 ,则称 是“回归数列”.
(Ⅰ)①前 项和为 的数列 是否是“回归数列”?并请说明理由;
②通项公式为 的数列 是否是“回归数列”?并请说明理由;
(Ⅱ)设 是等差数列,首项 ,公差 ,若 是“回归数列”,求 的值;
(Ⅲ)是否对任意的等差数列 ,总存在两个“回归数列” 和 ,使得  成立,请给出你的结论,并说明理由.

9、(西城区2016届高三二模)已知任意的正整数 都可唯一表示为 ,其中 , , .
对于 ,数列 满足:当 中有偶数个1时, ;否则 .如数5可以唯一表示为 ,则 .
(Ⅰ)写出数列 的前8项;
(Ⅱ)求证:数列 中连续为1的项不超过2项;
(Ⅲ)记数列 的前 项和为 ,求满足 的所有 的值.(结论不要求证明)

10、(朝阳区2016届高三上学期期末)已知有穷数列: 的各项均为正数,且满足条件:
① ;② .
(Ⅰ)若 ,求出这个数列;
(Ⅱ)若 ,求 的所有取值的集合;
(Ⅲ)若 是偶数,求 的最大值(用 表示).

 

 

11、(朝阳区2016届高三上学期期中)  已知等差数列 的首项 ,公差 ,前 项和为 ,且 .
   (Ⅰ)求数列 的通项公式;
   (Ⅱ)求证: .

12、(东城区2016届高三上学期期末)设 是一个公比为 等比数列, 成等差数列,且它的前4项和 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)令 ,求数列 的前 项和.


参考答案
一、选择、填空题
1、【答案】6
【解析】
试题分析:∵ 是等差数列,∴ , , , ,
∴ ,故填:6.
2、C
解析:   
 
3、 
由等差数列的性质, , ,于是有 , ,故 .故 , , 为 的前  项和 中的最大值
4、 ,   
5、A  
6、B  
7、B
8、B  9、A  10、C  11、B 
12、   13、18

二、解答题
1、【答案】(1) 的元素为 和 ;(2)详见解析;(3)详见解析.
 
如果 ,取 ,则对任何 .
从而 且 .
又因为 是 中的最大元素,所以 .

 
2、解析:(Ⅰ) , , .
(Ⅱ)因为集合 存在一个元素是 的倍数,所以不妨设 是 的倍数.
由   可归纳证明对任意 , 是 的倍数.
如果 ,则 的所有元素都是 的倍数.
如果 ,因为 或 ,所以 是 的倍数,于是 是 的倍数.类似可得, 都是 的倍数.从而对任意 , 是 的倍数.因此集合 的所有元素都是 的倍数.
综上,若集合 存在一个元素是 的倍数,则集合 的所有元素都是 的倍数.
(Ⅲ)由 , 可归纳证明 .
因为 是正整数,    所以 是 的倍数.
从而当 时, 是 的倍数.
如果 是 的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 , 是 的倍数.
因此当 时, .这时 的元素的个数不超过 .
如果 不是 的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 , 不是 的倍数.
因此当 时, .这时 的元素的个数不超过 .
当 时, 共 个元素.综上可知,集合 元素个数的最大值为 .

3、⑴ , ;
⑵当 时:
 , ;
 , ;
因为 是 中最小的数,所以 ,从而 ;
当 时,
 , ;
 , ;
因为 是 中最小的数,所以 ,从而 。
综上,这两种情况下都有 。
⑶数列序列  , , , , 的 的值最小;
 , , , , .
4、证明:(Ⅰ)当 时, ,令 , ,
则 , 且对 ,都有 ,
所以 具有性质 .相应的 子集为 , .      ………… 3分
(Ⅱ)①若 ,由已知 ,
又 ,所以 .所以 .
②若 ,可设 , ,且 ,
此时 .
所以 ,且 .所以 .
③若 ,  , ,
则 ,
所以 .
又因为 ,所以 .所以 .
所以 .
综上,对于 , ,都有 .     …………… 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
(1)由(Ⅰ)可知当 时,命题成立,即集合 具有性质 .
(2)假设 ( )时,命题成立.即 ,
且 , ,都有 .
那么 当 时,记 , ,
  并构造如下 个集合: , , , ,
 ,
显然 .
又因为 ,所以 .
下面证明 中任意两个元素之差不等于 中的任一元素 .
①若两个元素 , ,
则 ,
所以 .
②若两个元素都属于  ,
由(Ⅱ)可知, 中任意两个元素之差不等于 中的任一数 .
从而, 时命题成立.
综上所述,对任意正整数 ,集合 具有性质 .………………………13分

5、(Ⅰ)由 以及 可得:
 
所以从第二项起为等比数列. 经过验证 为等比数列 . -------------------2分
(Ⅱ)由于 所以有 .
令 则有 叠加得:
  所以有 ,叠加可得: ,
所以最小值为-5.                     --------------------------------------------------------6分
                                                                                    
(Ⅲ)由于 , , 
若 可得 ,若 可得
同理,若 可得 或 ,若 可得 或
具体如下表所示
    
所以 可以为
 

此时相应的 为  
                或
                                 ------------------------------------------------------13分
6、解:(Ⅰ) ;-----------------------------------------------------2分
(Ⅱ) ,假设
    ①当 时,依题意有
    ②当 时,依题意有 ,
③当 时,依题意有 , , , ,
由以上过程可知:若 ,在无穷数列 中,第 项后总存在数值为1 的项,以此类推,数列 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分

(Ⅲ)证明:由条件可知 ,
因为 中任何一项不等于1,所以 .
①若 ,则 .
因为 ,所以 .
     若 ,则 ,于是 ;
若 ,则 ,于是 ;
若 ,则 ,于题意不符;
所以 ,即 .
②若 ,则 .
因为 ,所以 ;
     因为 ,所以 ;
     所以 ,即 .
综上所述,对于一切正整数 ,总有 ,所以数列 是单调递减数列.
-------------------------------------------------------------------------------13分
7、解:(Ⅰ) …………………2分
(Ⅱ)对于  ,考虑元素  ,
显然, , ,对于任意的 , 不可能都为1,
可得 不可能都在好子集 中…………………4分
又因为取定 ,则 一定存在且唯一,而且 ,
且由 的定义知道, , ,…………………6分
这样,集合 中元素的个数一定小于或等于集合 中元素个数的一半,
而集合 中元素个数为 ,所以 中元素个数不超过 ;…………………8分
(Ⅲ) ,
定义元素 的乘积为: ,显然 .
我们证明:
“对任意的 , ,都有 .”
假设存在 , 使得 ,
则由(Ⅱ)知,
此时,对于任意的 , 不可能同时为 , 矛盾,
所以 . 
因为 中只有 个元素,我们记 为 中所有元素的乘积,
根据上面的结论,我们知道 ,
显然这个元素的坐标分量不能都为 ,不妨设 ,
根据 的定义,可以知道 中所有元素的 坐标分量都为 …………………11分
下面再证明 的唯一性:
若还有 ,即 中所有元素的 坐标分量都为 ,
所以此时集合 中元素个数至多为 个,矛盾.                
所以结论成立…………………13分
8、解:(Ⅰ)①∵ ,作差法可得  ,
当 时, ;
当 时, ,存在 ,使得
∴数列 是“回归数列”.………2分
②∵ ,∴前 项和 ,根据题意
∵ 一定是偶数,∴存在 ,使得
∴数列 是“回归数列”.………4分
(Ⅱ) ,根据题意,存在正整数 ,使得 成立
即 , , ,
∴ ,即 .………8分
(Ⅲ)设等差数列
总存在两个回归数列 ,
使得 ………9分
证明如下:
 
数列 前 项和 ,
 时, ; 时, ;
 时, 为正整数,当 时, .
∴存在正整数 ,使得 ,∴ 是“回归数列”……11分
数列 前 项和 存在正整数 ,使得 ,∴ 是“回归数列”,所以结论成立.………13分
9、(Ⅰ)解:1,1,0,1,0,0,1,1.                                ………………3分
(Ⅱ)证明:设数列 中某段连续为1的项从 开始,则 .
  由题意,令 ,则  中有奇数个1.
   (1)当 中无0时,
     因为 ,
     所以 ,
          .
           所以 , , ,此时连续2项为1.       ………………5分
  (2)当 中有0时,
      ① 若 ,即 ,
      则 ,
      因为  中有奇数个1,
      所以 ,此时连续1项为1.                        ………………7分
      ② 若 ,即 ,
      则 ,
       ,(其中 )
      如果 为奇数,那么 , ,此时连续2项为1.
      如果 为偶数,那么 ,此时仅有1项 .
  综上所述,连续为1的项不超过2项.                        ………………10分
(Ⅲ)解: 或 .                                    ………………13分
10、解:(Ⅰ)因为 ,由①知 ;
由②知, ,整理得, .解得, 或 .
当 时,不满足 ,舍去;
所以,这个数列为 .       …………………………………………………3分
(Ⅱ)若 ,由①知  .
因为 ,所以 .
所以 或 .
如果由 计算 没有用到或者恰用了2次 ,显然不满足条件;
 所以由 计算 只能恰好1次或者3次用到 ,共有下面4种情况:
(1)若 , , ,则 ,解得 ;
(2)若 , , ,则 ,解得 ;
(3)若 , , ,则 ,解得 ;
(4)若 , , ,则 ,解得 ;
综上, 的所有取值的集合为 . ………………………………………………8分
(Ⅲ)依题意,设 .由(II)知, 或 .
  假设从 到 恰用了  次递推关系 ,用了 次递推关系 ,
   则有 其中 .
当 是偶数时, , 无正数解,不满足条件;
当 是奇数时,由 得 ,
             所以 .
又当 时,若 ,
有 , ,即 .
所以, 的最大值是 .即 .…………………………………13分
11、
 
 
12、解:(Ⅰ)因为 是一个公比为 等比数列,
  所以 .
  因为 成等差数列,
  所以 即 .
  解得 .
  又它的前4和 ,得 ,
  解得   .                                         
  所以  .                                    …………………9分
(Ⅱ)因为 ,
 所以 .             ………………13分

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