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2017高三数学理科一轮复习圆锥曲线专题突破训练

核心导读:北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、(2016年北京高考)双曲线(,)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则_______________.2、(20

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
圆锥曲线

一、选择、填空题
1、(2016年北京高考)双曲线 ( , )的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则 _______________.
2、(2015年北京高考)已知双曲线 的一条渐近线为 ,则   .
3、(2014年北京高考)设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为________;   渐近线方程为________.
4、(朝阳区2016届高三二模)双曲线 的渐近线方程是          ;若抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合,则       .
5、(东城区2016届高三二模)若点 和点 分别为双曲线 (>0)的中心和左焦点,点 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为___.
6、(丰台区2016届高三一模)已知双曲线 的一条渐近线为 ,那么双曲线的离心率为_________.
7、(石景山区2016届高三一模)双曲线 的焦距是________,渐近线方程是________.
8、(西城区2016届高三二模)设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为 ,则其离心率为____;若点 在C上,则双曲线C的方程为____.
9、(朝阳区2016届高三上学期期末)已知点 及抛物线 上一动点 ,则 的最小值是
A.                  B.1             C. 2            D. 3
10、(大兴区2016届高三上学期期末)双曲线 的一条渐近线的方程是
(A)                        (B)    
 (C)                          (D) 
11、(海淀区2016届高三上学期期末)抛物线 的准线与 轴的交点的坐标为
   A.       B.          C.         D.
12、(石景山区2016届高三上学期期末)若曲线 上只有一个点到其焦点的距离为1,则 的值为(    )
A. 4          B. 3        C. 2        D. 1   

 

二、解答题
1、(2016年北京高考)已知椭圆C:  ( )的离心率为  , , , , 的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设 的椭圆 上一点,直线 与 轴交于点M,直线PB与 轴交于点N.
求证: 为定值.


2、(2015年北京高考)已知椭圆 :  的离心率为 ,点 和点 都在椭圆 上,直线 交 轴于点 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程,并求点 的坐标(用  表示);
(Ⅱ)设 为原点,点 与点 关于 轴对称,直线 交 轴于点 .问: 轴上是否存在点 ,使得 ?若存在,求点 的坐标;若不存在,说明理由.

3、(2014年北京高考)已知椭圆 ,
(1)求椭圆 的离心率.
(2)设 为原点,若点 在椭圆 上,点 在直线 上,且 ,求直线 与圆 的位置关系,并证明你的结论.

4、(朝阳区2016届高三二模)在平面直角坐标系 中,点 在椭圆  上,过点 的直线 的方程为 .
(Ⅰ)求椭圆 的离心率;
(Ⅱ)若直线 与 轴、 轴分别相交于 两点,试求 面积的最小值;
(Ⅲ)设椭圆 的左、右焦点分别为 , ,点 与点 关于直线 对称,求证:点
三点共线.

5、(东城区2016届高三二模)已知椭圆  过点( , ),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设 是椭圆 上的动点, 是 轴上的定点,求 的最小值及取最小值时点 的坐标.

6、(丰台区2016届高三一模) 已知椭圆G: 的离心率为 ,短半轴长为1.
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)设椭圆G的短轴端点分别为 ,点 是椭圆G上异于点 的一动
点,直线 分别与直线 于 两点,以线段MN为直径作圆 .
① 当点 在 轴左侧时,求圆 半径的最小值;
② 问:是否存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切?若存在,指出该定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
7、(海淀区2016届高三二模)已知点 其中 是曲线 上的两点, 两点在 轴上的射影分别为点 ,且 .
(Ⅰ)当点 的坐标为 时,求直线 的斜率;
(Ⅱ)记 的面积为 ,梯形 的面积为 ,求证: .


8、(石景山区2016届高三一模)已知椭圆 的短轴长为 ,离心率为 ,直线 与椭圆 交于 两点,且线段 的垂直平分线通过点 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)求△ ( 为坐标原点)面积的最大值.


9、(西城区2016届高三二模)已知椭圆 : 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设过点 的直线l与椭圆 相交于 两点,点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段 为直径的圆内,求m的取值范围.


10、(东城区2016届高三上学期期末)已知椭圆 ( )的焦点是 ,且 ,离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 , 两点,求 的取值范围.

11、(丰台区2016届高三上学期期末)已知定点 和直线 上的动点 ,线段MN的垂直平分线交直线  于点 ,设点 的轨迹为曲线 .
 (Ⅰ)求曲线 的方程;
 (Ⅱ)直线 交 轴于点 ,交曲线 于不同的两点 ,点 关于x轴的对称点为点P.点 关于 轴的对称点为 ,求证:A,P,Q三点共线.
 

12、(海淀区2016届高三上学期期末)已知椭圆 的离心率为 ,其左顶点 在圆 上.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若点 为椭圆 上不同于点 的点,直线 与圆
的另一个交点为 . 是否存在点 ,使得 ? 
若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.
 

参考答案
一、选择、填空题
1、【答案】2
 
2、
解析:渐近线为 所以有 双曲线 的方程得 且 
3、 ;
双曲线 的渐近线为 ,故 的渐近线为
设 :  并将点 代入 的方程,解得 
故 的方程为 ,即  
4、 ,   
5、   
6、2  
7、 ,   
8、                 
9、C  10、C   11、B  12、C  

二、解答题
1、【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】
 
  .
当 时, ,
所以 .
综上, 为定值.
2、解析:
(I)由题意得 解得 ,
故椭圆 的方程为

因为 ,所以
直线 的方程为 ,
 所以 ,即
 因为点 与点 关于 轴对称,所以 .
设 ,则 .
 “存在点 使得 ”等价于“存在点 使得 ”,即 满足 .
因为 , ,
所以 或 ,
故在 轴上存在点 ,使得 ,
点 的坐标为 或 .
3、⑴椭圆的标准方程为: ,
 , 则 ,离心率 ;
⑵直线 与圆 相切.证明如下:
法一:
设点 的坐标分别为 ,其中 .
因为 ,所以 ,即 ,解得 .
当 时, ,代入椭圆 的方程,得 ,
故直线 的方程为 .圆心 到直线 的距离 .
此时直线 与圆 相切.
当 时,直线 的方程为 ,
即 .
圆心 到直线 的距离 .
又 , ,故
 .
此时直线 与圆 相切.
法二:
由题意知,直线 的斜率存在,设为 ,则直线 的方程为 , ,
①当 时, ,易知 ,此时直线 的方程为 或 ,
原点到直线 的距离为 ,此时直线 与圆 相切;
②当 时,直线 的方程为 ,
联立 得点 的坐标 或 ;
联立 得点 的坐标 ,
由点 的坐标的对称性知,无妨取点  进行计算,
于是直线 的方程为: ,
即 ,
原点到直线 的距离 ,
此时直线 与圆 相切。
综上知,直线 一定与圆 相切.
法三:
①当 时, ,易知 ,此时 ,
 ,原点到直线 的距离 ,、
此时直线 与圆 相切;
②当 时,直线 的方程为 ,
设 ,则 , ,
联立 得点 的坐标 或 ;
于是 , ,
 ,
所以 ,直线 与圆 相切;
综上知,直线 一定与圆 相切
4、解:(Ⅰ)依题意可知 , ,
    所以椭圆 离心率为 .                 …………… 3分
(Ⅱ)因为直线 与 轴, 轴分别相交于 两点,所以 .
令 ,由 得 ,则 .
令 ,由 得 ,则 .
所以 的面积 .
因为点 在椭圆  上,所以 .
所以 .即 ,则 .
所以 .
当且仅当 ,即 时, 面积的最小值为 . … 9分
(Ⅲ)①当 时, .
当直线 时,易得 ,此时 , .
因为 ,所以三点 共线.
同理,当直线 时,三点 共线.
②当 时,设点 ,因为点 与点 关于直线 对称,
   所以 整理得
解得 
所以点 .
又因为 , , 且
       
 .
所以  .所以点 三点共线.
综上所述,点 三点共线.         …………………………………14分
5、解:(Ⅰ)由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,
所以  ,  , 则椭圆C的方程为 .
又因为椭圆C:过点A( ,1),所以 ,故a=2,b=.
所以 椭圆的的标准方程为 . --------------------------------------------------------4分
(Ⅱ) .
因为 M(x,y)是椭圆C上的动点,所以 ,
    故  .
   所以 
   因为M(x,y)是椭圆C上的动点,
   所以  .
(1) 若 即 ,则当 时 取最小值 ,
此时M .
 (2)若 ,则当 时, 取最小值 ,此时M .
 (3)若 ,则当 时, 取最小值 ,此时M .     -------13分
6、解:(Ⅰ)因为 的离心率为 ,短半轴长为1.
所以 得到
所以椭圆的方程为 .-----------------------------------------------------------3分
(Ⅱ)① 设 ,
所以直线 的方程为:
令 ,得到 同理得到 ,得到
所以,圆 半径
当 时,圆 半径的最小值为3. --------------------------------------9分

② 当 在左端点时,圆 的方程为:
当 在右端点时,设 ,
所以直线 的方程为:
令 ,得到 同理得到 ,
圆 的方程为: ,
易知与定圆 相切, 半径
由前一问知圆C的半径
因为 , ,圆 的圆心坐标为
圆心距 = =
当 时, ,此时定圆与圆 内切;
当 时, ,此时定圆与圆 外切;
存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和半径 .
(注: 存在另一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和半径 .得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分
7、解:(Ⅰ)因为 ,所以
代入 ,得到 ,…………………1分
又 ,所以 ,所以 ,…………………2分
代入 ,得到 ,…………………3分
所以 .                      …………………5分
(Ⅱ)法一:设直线 的方程为 .
则 …………………7分
由 ,  得 ,
所以 …………………9分
又 ,…………………11分
又注意到 ,所以 ,
所以 ,…………………12分
因为 ,所以 ,所以 .…………………13分
法二:设直线 的方程为 .
由 ,  得 ,
所以 …………………7分
 ,       …………………8分
点 到直线 的距离为 , 所以 ………………9分
又 ,     …………………11分
又注意到 ,所以 ,
所以 ,…………………12分
因为 ,所以 ,所以 .      …………………13分
法三:直线 的方程为  , …………………6分
所以点 到直线 的距离为 …………………7分
又 ,  …………………8分
所以
又 …………………9分
所以
 …………………10分
因为 ,  所以 …………………11分
代入得到,  …………………12分
因为 ,   当且仅当 时取等号,
所以 .                             …………………13分
8、解:(Ⅰ)由已知可得 解得 ,               ………2分
故椭圆 的标准方程为 .                              ………3分
(Ⅱ)设 , ,
联立方程
消去 得 .                       ………4分
当 ,
即 时,                                             ………5分
 , .                             ………6分
所以 , .
当 时,线段 的垂直平分线显然过点
 
 
因为 ,所以
 ,当 时,取到等号.            ………8分
当 时,因为线段 的垂直平分线过点 ,
所以 ,
化简整理得 .                                      ………9分
由 得 .                                ………10分
又原点 到直线 的距离为 .
 
所以                       ………11分
而 且 ,
则 .                             ………12分                       
所以当 ,即 时, 取得最大值 .               ………13分
综上, 最大值为 .                                     ………14分
9、(Ⅰ)解:由题意,得:                                  ………………2分
      又因为                                            
      解得 , , ,                                  ………………4分
      所以椭圆C的方程为 .                             ………………5分
(Ⅱ)解:(方法一)
      当直线 的斜率不存在时,由题意知 的方程为 ,
      此时E,F为椭圆的上下顶点,且 ,
      因为点 总在以线段 为直径的圆内,且 ,
      所以 .
故点B在椭圆内.                                             ………………6分
      当直线 的斜率存在时,设 的方程为 .              
      由方程组   得 ,          ………………8分
      因为点B在椭圆内,
      所以直线 与椭圆C有两个公共点,即 .       
      设 ,则 , .         ………………9分
      设 的中点 ,
      则 , ,
      所以 .                                     ………………10分
      所以  ,                  
            . ………………11分
      因为点D总在以线段EF为直径的圆内,                  
      所以 对于 恒成立.
      所以  .
      化简,得 ,
      整理,得 ,                                      ………………13分
      而 (当且仅当 时等号成立).
      所以 ,
      由 ,得 .
      综上,m的取值范围是 .               ………………14分
    
     (方法二)
      … …
     则 , .                           …………………9分
     因为点D总在以线段EF为直径的圆内,
     所以 .                                            ………………11分
     因为 , ,
     所以
               
               
                ,
     整理,得 .                                        ………………13分
      (以下与方法一相同,略)
10、解(Ⅰ)因为椭圆的标准方程为 ,
由题意知 解得 .
所以椭圆的标准方程为 .    ……………………………5分
(Ⅱ)因为 ,当直线 的斜率不存在时, , ,
则 ,不符合题意.
当直线 的斜率存在时,直线 的方程可设为 .
由    消 得  (*). 
设 , ,则 、 是方程(*)的两个根,
所以 , .  
所以 ,
所以
所以
 
 
 
           当 时, 取最大值为 ,
所以  的取值范围 .
 又当 不存在,即 轴时, 取值为 .
所以 的取值范围 .                   …………13分
11、(Ⅰ)有题意可知: ,即点 到直线 和点 的距离相等.
根据抛物线的定义可知: 的轨迹为抛物线,其中 为焦点.
设 的轨迹方程为: , , 
所以 的轨迹方程为: .                      …………………………5分


(Ⅱ)由条件可知 ,则 .
联立 ,消去y得 ,
 .
设 ,则
 , , .
因为   ,
 
所以   , 三点共线 .                     …………………………13分
12、解:
(Ⅰ)因为椭圆 的左顶点 在圆 上,
令 ,得 ,所以 .      …………………………….1分
又离心率为 ,所以 ,所以 ,…………………………….2分
所以 ,…………………………….3分
所以 的方程为 .      …………………………….4分
(Ⅱ)
法一:设点 ,设直线 的方程为 ,…………………………….5分
与椭圆方程联立得 ,
化简得到 ,      …………………………….6分
因为 为上面方程的一个根,所以 ,所以 .…………………………….7分
所以 .           …………………………….8分
因为圆心到直线 的距离为 ,…………………………….9分
所以 ,…………………………….10分
因为 ,…………………………….11分
代入得到 .…………………………….13分
显然 ,所以不存在直线 ,使得 . …………………………….14分
法二:
设点 ,设直线 的方程为 ,…………………………….5分
与椭圆方程联立得
化简得到 ,由 得 .  …………………………….6分
显然 是上面方程的一个根,所以另一个根,即 .…………………………….7分
由 ,…………………………….8分
因为圆心到直线 的距离为 ,…………………………….9分
所以 .…………………………….10分
因为 ,…………………………….11分
代入得到 ,…………………………….13分
若 ,则 ,与 矛盾,矛盾,
所以不存在直线 ,使得 . …………………………….14分
法三:假设存在点 ,使得 ,则 ,得 . …………………………….5分
显然直线 的斜率不为零,设直线 的方程为 ,…………………………….6分
由 ,得 ,
由 得 ,…………………………….7分
所以 .…………………………….9分
同理可得 ,…………………………….11分
所以由 得 ,…………………………….13分
则 ,与 矛盾,
所以不存在直线 ,使得 . …………………………….14分

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